En el vasto universo del álgebra conmutativa, los anillos de característica $p$ ocupan un lugar especial. A diferencia de la característica cero (donde vive nuestro familiar $\R$ o $\C$), en característica $p$ la aritmética se comporta de manera extraña y fascinante, gobernada por un endomorfismo omnipresente.
1. El Morfismo de Frobenius
Sea $A$ un anillo conmutativo de característica prima $p > 0$. Esto significa que sumar el $1$ consigo mismo $p$ veces da como resultado $0$. En este contexto, surge una función natural que respeta la estructura del anillo.
\begin{defi} Sea $A$ un anillo de característica $p$. El Morfismo de Frobenius es la función $\Phi: A \to A$ definida por:
$$\Phi(a) = a^p$$para todo $a \in A$. \end{defi}
Gracias a la fórmula del binomio en característica $p$ (donde los coeficientes intermedios son divisibles por $p$), se cumple que $(a+b)^p = a^p + b^p$. Esto garantiza que $\Phi$ es, en efecto, un homomorfismo de anillos.
Un ejemplo imperfecto
Decimos que un anillo es perfecto si su morfismo de Frobenius es un isomorfismo (es decir, es biyectivo). Sin embargo, la mayoría de los anillos que encontramos en geometría algebraica no lo son.
Consideremos el anillo de polinomios con coeficientes en el cuerpo finito $\mathbb{F}_p$:
$$A = \mathbb{F}_p[t]$$El morfismo $\Phi: A \to A$ actúa sobre un polinomio elevando la variable a la potencia $p$. Por ejemplo, si $f(t) = t$, entonces $\Phi(f) = t^p$.
- Inyectividad: $\Phi$ es inyectivo (el anillo es un dominio íntegro).
- Sobreyectividad: $\Phi$ no es sobreyectivo. No existe ningún polinomio $g(t)$ tal que $g(t)^p = t$. El elemento $t$ no tiene raíz $p$-ésima en $A$.
2. ¿Por qué nos interesa que un anillo sea perfecto?
¿Por qué nos preocupa que Frobenius no sea un isomorfismo? Esta “imperfección” genera obstáculos técnicos significativos:
- Obstrucción en Raíces (Ecuaciones Polinomiales): Si intentamos resolver ecuaciones como $X^p - t = 0$, nos encontramos con que las soluciones no “viven” en nuestro anillo base. Esto genera extensiones inseparables, que complican la teoría de Galois y el análisis de raíces.
- Geometría Aritmética y Cohomología: En la cohomología cristalina o la teoría de Hodge $p$-ádica, necesitamos levantar estructuras de característica $p$ a característica $0$. Si el anillo tiene elementos nilpotentes o no tiene raíces $p$-ésimas, el “espacio tangente” y los diferenciales se comportan de manera patológica.
Para solucionar esto, empleamos una estrategia categórica: forzamos al anillo a ser perfecto mediante Propiedades Universales.
3. Dos Caminos hacia la Perfección
Existen dos maneras canónicas de asociar un anillo perfecto a un anillo $A$ cualquiera. Una mira hacia el futuro (agregando raíces) y la otra hacia el pasado (buscando secuencias compatibles).
A. La Perfección (Límite Directo)
Esta construcción busca “reparar” la falta de raíces $p$-ésimas. Es la construcción estándar cuando decimos “la perfección de $A$”.
\begin{defi} La \textbf{Perfección} de un anillo $A$, denotada comúnmente como $A_{perf}$ (o a veces $A^{p^{-\infty}}$), es el límite directo (colímite) del sistema dirigido por el morfismo de Frobenius:
$$A_{perf} := \varinjlim \left( A \xrightarrow{\Phi} A \xrightarrow{\Phi} A \dots \right)$$\end{defi}
Este anillo cumple la siguiente propiedad universal:
\begin{teo} \textbf{Propiedad Universal (Adjunción a Izquierda).} Sea $A$ un anillo de característica $p$ y sea $\iota: A \to A_{perf}$ el mapa canónico. Para todo anillo perfecto $P$ y todo morfismo $f: A \to P$, existe un \textbf{único} morfismo $g: A_{perf} \to P$ tal que el diagrama conmuta ($g \circ \iota = f$). \end{teo}
Esto significa que el funtor $A \mapsto A_{perf}$ es el adjunto a izquierda del funtor de olvido de anillos perfectos a anillos generales. Es la forma “más eficiente” de convertir $A$ en un anillo perfecto añadiendo raíces.
Interpretación Intuitiva: Imagina que a $A$ le agregamos formalmente todas las raíces $p$-ésimas, $p^2$-ésimas, etc., de todos sus elementos. Matemáticamente, los elementos de $A_{perf}$ son clases de equivalencia que representan “$a^{1/p^n}$”.
Uso Principal: Es fundamental en geometría algebraica clásica para pasar de esquemas generales a esquemas perfectos, eliminando la inseparabilidad sin alterar la topología del espacio subyacente (el espacio topológico de $\text{Spec}(A)$ y $\text{Spec}(A_{perf})$ es homeomorfo).
B. El Límite Inverso (El “Tilt” o $A^\flat$)
Esta construcción es más sutil y busca el “núcleo” perfecto compatible del anillo.
\begin{defi} El \textbf{Límite Inverso de Frobenius} de un anillo $A$, denotado modernamente como $A^{\flat}$ (léase “A flat” o “A basculado”), se define mediante el límite inverso del sistema:
$$A^{\flat} := \varprojlim \left( \dots \xrightarrow{\Phi} A \xrightarrow{\Phi} A \right)$$\end{defi}
Este anillo cumple la siguiente propiedad universal:
\begin{teo} \textbf{Propiedad Universal (Adjunción a Derecha)}. Sea $A$ un anillo de característica $p$ y sea $\pi: A^{\flat} \to A$ la proyección a la primera componente ($x_0$). Para todo anillo perfecto $P$ y todo morfismo $f: P \to A$, existe un \textbf{único} morfismo $g: P \to A^{\flat}$ tal que el diagrama conmuta ($\pi \circ g = f$). \end{teo}
Esto significa que el funtor $A \mapsto A^{\flat}$ es el adjunto a derecha del funtor de inclusión. Es el anillo perfecto “más grande” que se puede mapear dentro de $A$.
Interpretación Intuitiva: Un elemento en $A^{\flat}$ no es un número simple, sino una secuencia infinita $(x_0, x_1, x_2, \dots)$ de elementos de $A$ tales que cada uno es la potencia $p$-ésima del siguiente: $x_{n+1}^p = x_n$. Es como buscar la “historia coherente” de raíces hacia atrás.
Uso Principal: Esta construcción es la base de la teoría de Perfectoides y el Tilting. Permite traducir problemas de anillos complejos (incluso de característica mixta) a anillos perfectos de característica $p$ donde Frobenius es biyectivo.
Una consecuencia notable es que la categoría $\mathbf{Perf}_p$ hereda las propiedades de completitud de $\mathbf{CRing}$. Dado que la inclusión admite adjuntos a ambos lados, podemos afirmar:
\begin{prop} La categoría $\mathbf{Perf}_p$ es tanto completa como co-completa. \end{prop}
Esto nos garantiza que siempre podemos construir nuevos anillos perfectos a partir de otros (pegándolos o intersectándolos). Sin embargo, hay una regla de oro operativa:
- Límites ($\varprojlim$): Se calculan igual que en los anillos ordinarios. La intersección de perfectos es perfecta.
- Colímites ($\varinjlim$): Se calculan en anillos ordinarios y luego se perfeccionan. Por ejemplo, el coproducto en $\mathbf{Perf}_p$ es la perfección del producto tensorial: $$A \sqcup_{\mathbf{Perf}} B \cong (A \otimes_{\mathbb{Z}} B)_{perf}$$
4. Algunos ejemplos
Analicemos cómo actúan estas dos construcciones sobre anillos concretos con la notación corregida.
\begin{prop} Sea $A = \mathbb{F}_p[t]$ el anillo de polinomios.
- La Perfección $A_{perf}$ es isomorfa a $\bigcup_{n \ge 0} \mathbb{F}_p[t^{1/p^n}]$.
- El Límite Inverso $A^{\flat}$ es isomorfo a $\mathbb{F}_p$. \end{prop}
Análisis:
- Para $A_{perf}$ (límite directo), estamos forzando la existencia de raíces. El anillo crece hasta contener $t^{1/p}, t^{1/p^2}, \dots$.
- Para $A^{\flat}$ (límite inverso), buscamos secuencias $(x_0, x_1, \dots)$ tal que $x_{n+1}^p = x_n$. Si $x_0 = t$, necesitaríamos $x_1$ tal que $x_1^p = t$, lo cual no existe en $\mathbb{F}_p[t]$. Por ende, cualquier secuencia válida debe consistir solo en constantes.
\begin{prop} Sea $A = \mathbb{F}_p[t]/(t^p)$. (Un anillo con elementos nilpotentes).
- La Perfección $A_{perf}$ es isomorfa a $\mathbb{F}_p$. En el límite directo, $t$ se mapea a $t^p=0$, luego $0 \to 0$, por lo que los nilpotentes mueren.
- El Límite Inverso $A^{\flat}$ es isomorfo a $\mathbb{F}_p$. \end{prop}
Análisis: Aquí la perfección actúa como un “filtro” que elimina la información nilpotente, reduciendo el anillo a su parte semi-simple ($A_{red}$).
\begin{prop} Sea $A = \mathbb{F}_p$. Dado que $A$ ya es un cuerpo perfecto (Frobenius es el automorfismo identidad $x \to x$, pues $x^p=x$ por el Pequeño Teorema de Fermat):
$$A_{perf} \cong A \cong A^{\flat}$$\end{prop}
Este es el caso ideal donde las construcciones se estabilizan: un anillo perfecto es isomorfo a su propia perfección y a su propio límite inverso.